Имеет ли право учреждение не отвечать за оставленные на его территории вещи?

Приветствую Вас!
Нет. не законно. Подобные организации несут ответственность при хранении вещи, отвечают за сохранность вещей.

При сдаче вещей в камеру хранения заключается договор хранения. Хотя сам документ не составляется и не подписывается, по закону он считается заключенным если хранитель принял вещь, а тот кто сдал, получил какой-либо жетон, номерок и т.д.

Простая письменная форма договора хранения считается соблюденной, если принятие вещи на хранение удостоверено хранителем выдачей поклажедателю:
сохранной расписки, квитанции, свидетельства или иного документа, подписанного хранителем;
номерного жетона (номера), иного знака, удостоверяющего прием вещей на хранение, если такая форма подтверждения приема вещей на хранение предусмотрена законом или иным правовым актом либо обычна для данного вида хранения.

При безвозмездном хранении убытки, причиненные поклажедателю утратой, недостачей или повреждением вещей, возмещаются:
1) за утрату и недостачу вещей — в размере стоимости утраченных или недостающих вещей;
2) за повреждение вещей — в размере суммы, на которую понизилась их стоимость.

 В случае, когда в результате повреждения, за которое хранитель отвечает, качество вещи изменилось настолько, что она не может быть использована по первоначальному назначению, поклажедатель вправе от нее отказаться и потребовать от хранителя возмещения стоимости этой вещи, а также других убытков, если иное не предусмотрено законом или договором хранения.

Более того, заставлять людей сдавать вещи в камеру хранения в супермаркете, например, незаконно, так как это понуждение к заключению договора хранения, а в России согласно ст. 421 ГК РФ запрещено понуждение к заключению договора.

Надеюсь, мой ответ поможет Вам разобраться в сложившейся ситуации. Вы всегда можете задать дополнительные  интересующие Вас вопросы.
Законы, относящиеся к теме и прочие законодательные акты:

«Гражданский кодекс Российской Федерации (часть вторая)» от 26.01.1996 N 14-ФЗ
(ред. от 29.07.2018)
(с изм. и доп., вступ. в силу с 30.12.2018)